高考数学丨导数构造题的解法 2021-08-15 学习 暂无评论 389 次阅读 # ⚠ 本文格式错乱，请前往知乎查看 知乎文章：[https://zhuanlan.zhihu.com/p/399923208](https://zhuanlan.zhihu.com/p/399923208 "https://zhuanlan.zhihu.com/p/399923208") # 高考数学丨导数构造题的解法 适用题型： $f'(x)+f(x)>0$ ### 解题方法 #### 例题：  #### 步骤： 1. 把$f'(x)$放在较大的那一边 2. 判断$f'(x)$前面是正的还是负的，如果是正，构造出的就是增函数，反之为减函数 3. 把选项中的系数划掉，比较俩个括号里的大小，用增减性判断 这个例题就是： 1. 首先$2f(x)-f'(x)>0$ 2. 因为$f'(x)$前是负的，构造出来的是减函数 3. 只有$B$选项符合$0<1$且$f(0)>f(1)$，所以选$B$ 这个方法可以解决一部分的题目，有一些题目在排除后仍有两个选项，需要下面的这个方法 #### 通用构造法 已知 $m(x)f(x)+n(x)f'(x)>0$，则构造 $e^{h(x)}f(x)$，其中$h'(x)=\frac{m(x)}{n(x)}$ #### 原理 已知 $m(x)f(x)+n(x)f'(x)>0$ 不等式两边同时除以$n(x)$，将$f'(x)$的系数变成$1$,得到 $\frac{m(x)}{n(x)}f(x)+f'(x)>0$ 想到$(e^{h(x)}f(x))'=e^{h(x)}(h'(x)f(x)+f'(x))$，我们可以令上式中的$\frac{m(x)}{n(x)}=h'(x)$，再给不等式两边同乘一个$e^{h(x)}$，得到 $$ 左边=h'(x)e^{h(x)}f(x)+e^{h(x)}f'(x) =e^{h(x)}(h'(x)f(x)+f'(x)) =(e^{h(x)}f(x))' $$ 所以我们令$F(x)=e^{h(x)}f(x)$，其中$h'(x)=\frac{m(x)}{n(x)}$ 对$F(x)$求导后可得$F'(x)=e^{h(x)}(h'(x)f(x)+f'(x))$，只需要考虑$h'(x)f(x)+f'(x)(*)$的正负 若$n(x)>0$，则将$m(x)f(x)+n(x)f'(x)>0$两边同除$n(x)$后左边即是$(\*)$式，$(\*)$式$>0$ 若$n(x)<0$，则将$m(x)f(x)+n(x)f'(x)>0$两边同除$n(x)$后左边即是$(\*)$式，$(\*)$式$<0$ 所以把$f'(x)$放在较大的那一边后，它的正负决定着构造出的函数的增减性，故可以用判断$f'(x)$前符号这一简单的方法来判断 **那为什么可以直接通过$f(x)$来判断整体$F(x)$的大小呢？** 首先观察$F(x)=e^{h(x)}f(x)$，在给定两个数$m$,$n$后，$e^{h(x)}$会变成一个常数，而$f(x)$仍是未知的 我们假设$F(x)$为增函数，要使$F(m)>F(n)$，即$e^{h(m)}f(m)>e^{h(n)}f(n)$，需要$m>n$，其中$e^{h(m)}$,$e^{h(n)}$都是常数 抛开常数不看，我们发现对于增函数只要有$m>n$，就有$f(m)>f(n)$，减函数则是$f(m)<f(n)$，所以可以根据这个原理简单地排除掉一些错误选项，甚至直接做出答案 $f(m)>f(n)$仅代表位置关系，并不表示实际的大小关系，在题目中选项两边也有常数，只是省略不看 标签: 方法, 数学, 高考 本作品采用 知识共享署名-相同方式共享 4.0 国际许可协议 进行许可。